Όλοι γνωρίζουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα, δημιούργημα του Έλληνα μαθηματικού Πυθαγόρα. Στην πραγματικότητα όμως το θεώρημα αυτό είναι 1.000 χρόνια παλιότερο!
Δεν υπάρχει μαθητής σε οποιοδήποτε μέρος του κόσμου που έχει διδαχθεί έστω και λίγη γεωμετρία που να μην γνωρίζει το Πυθαγόρειο Θεώρημα.
O σπουδαίος Έλληνας Ευκλείδης που έζησε στην Αλεξάνδρεια τον
3ο αιώνα π.Χ. στο βιβλίο του «Στοιχεία Γεωμετρίας» αναφέρει το
χαρακτηριστικό θεώρημα: «το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου
ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών».
Στο ίδιο βιβλίο, ο Ευκλείδης τονίζει ότι η σχετική απόδειξη κατά
παράδοση προέρχεται από τον Πυθαγόρα, τον σπουδαίο Έλληνα μαθηματικό από τη
Σάμο, ο οποίος έζησε δύο αιώνες πριν τον Ευκλείδη και θεωρείται ο θεμελιωτής
των ελληνικών μαθηματικών. Έτσι, ήδη από την αρχαιότητα, σε αυτόν αποδίδεται μεταξύ
άλλων και η διατύπωση σχετικά με τις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου, το οποίο
κατέχει και επίσημα το όνομά του παγκοσμίως.
Ωστόσο, αυτό που δεν ξέρουν οι περισσότεροι είναι ότι στην
πραγματικότητα ο Πυθαγόρας δεν ήταν ο πρώτος που κατάλαβε το πώς λειτουργούν οι
πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου, αλλά το είχαν κάνει ήδη κάποιοι άλλοι περίπου
1.000 χρόνια νωρίτερα!
Αυτοί οι… κάποιοι άλλοι ήταν οι Βαβυλώνιοι, ο λαός που ζούσε
στη Μεσοποταμία από 4.000 π.Χ. και ανέπτυξε ένα κράτος με ισχυρή οικονομία και
πλούσιο πολιτισμό που έζησε για χιλιετίες.
Οι αρχαιολόγοι έχουν εντοπίσει χιλιάδες πήλινες πλάκες από
τις χαμένες πόλεις της αρχαίας Βαβυλώνας, στο σημερινό Ιράκ. Οι πλάκες αυτές με
κείμενα γραμμένα στην ακκαδική γλώσσα των Βαβυλωνίων διατηρούνται σε μουσεία, βιβλιοθήκες
και ιδιωτικές συλλογές με τους αρχαιολόγους να προσπαθούν να μελετήσουν όσες περισσότερες
μπορούν. Σε ορισμένες από αυτές, έχουν εντοπιστεί αποδείξεις ότι οι Βαβυλώνιοι
εφάρμοζαν το πυθαγόρειο θεώρημα τουλάχιστον χίλια χρόνια πριν από τον Πυθαγόρα.
«Οποιοδήποτε βιβλίο ιστορίας θα σας πει ότι η τριγωνομετρία καθιερώθηκε
από τους αρχαίους Έλληνες αστρονόμους. Μου αρέσει να σκέφτομαι τη βαβυλωνιακή
κατανόηση ως ένα απροσδόκητο… πρίκουελ», λέει χαρακτηριστικά ο Ντάνιελ
Μανσφιλντ, μαθηματικός και ερευνητής αρχαίων μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της
Νέας Νότιας Ουαλίας (UNSW) στην Αυστραλία.
Η πήλινη πινακίδα Si.427
Ένα από τα πλέον αποκαλυπτικά παραδείγματα είναι τα όσα
αναφέρονται στην πλάκα με τον κωδικό Si.427 ηλικίας περίπου 3.700 ετών (χρονολογείται
γύρω από 1900-1600 π.Χ.). Η εν λόγω πλάκα ανασκάφηκε από τον Ζαν Βινσέντ Σιλ
κατά τη διάρκεια μιας γαλλικής αρχαιολογικής αποστολής το 1894 στο Σιπάρ,
νοτιοδυτικά της Βαγδάτης. Η σημασία της όμως δεν έγινε κατανοητή εκείνη την
εποχή παρά μόνο πολύ πρόσφατα.
Η πλάκα καταγράφει μια κτηματολογική έρευνα και απεικονίζει
το σχέδιο ενός τοπογράφου της εποχής. Όπως αποδείχθηκε, η Si.427, η οποία
εκτίθεται στο Αρχαιολογικό Μουσείο της Κωνσταντινούπολης είναι στην
πραγματικότητα ένα από τα παλαιότερα παραδείγματα εφαρμοσμένης γεωμετρίας από
τον αρχαίο κόσμο.
«Αποτελεί ένα σχέδιο που δημιουργήθηκε από τοπογράφους κι
καθορίζει τα όρια γης σε ένα οικόπεδο. Έτσι, μας λέει νομικές και γεωμετρικές
λεπτομέρειες για το οικόπεδο που διαχωρίστηκε σε τεμάχια μετά την πώληση
ορισμένων από αυτό», λέει ο Μανσφιλντ, ο οποίος μελέτησε εκτεταμένα την πλάκα
αυτή και δημοσίευσε τα ευρήματά του στο περιοδικό Foundations of Science.
Η Si.427 χρησιμοποιεί σύνολα αριθμών που είναι τώρα γνωστά
ως «πυθαγόρειες τριάδες» για να κάνει μαθηματικούς υπολογισμούς με βάση
ακριβείς ορθές γωνίες, όπως υπέδειξε και ο Πυθαγόρας αλλά πάνω από 1.000 χρόνια
αργότερα.
«Είναι γενικά αποδεκτό ότι η τριγωνομετρία - ο κλάδος των
μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη των τριγώνων - αναπτύχθηκε από τους
αρχαίους Έλληνες μελετώντας τον νυχτερινό ουρανό, την αστρονομία τον 2ο αιώνα
π.Χ.», αναφέρει ο Μάνσφιλντ. «Αλλά οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν τη δική τους
εναλλακτική ‘πρωτοτριγωνομετρία’ για να λύσουν προβλήματα που σχετίζονται με τη
μέτρηση του εδάφους και όχι του ουρανού».
Μια σύντομη ιστορία
της βαβυλωνιακής τοπογραφίας
Οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι είχαν σε μεγάλη εκτίμηση τη γη και την
ιδιοκτησία της, όπως και εμείς σήμερα. Αρχικά, μεγάλες εκτάσεις γης ανήκαν σε
ιδρύματα, όπως ναοί ή παλάτια.
Οι επαγγελματίες επιθεωρητές μετρούσαν αυτά τα χωράφια για
να εκτιμήσουν το μέγεθος της συγκομιδής, αλλά δεν φαίνεται να καθιέρωναν ξεκάθαρα
σύνορα στα χωράφια αυτά. Τα ισχυρά ιδρύματα δεν θα χρειάζονταν έναν τοπογράφο,
ή οποιονδήποτε άλλο, για να τους πει τι κατείχαν.
Η φύση της ιδιοκτησίας γης άλλαξε κατά την Παλαιά
Βαβυλωνιακή περίοδο, μεταξύ 1900 και 1600 π.Χ. Έτσι, αντί για μεγάλα χωράφια
που άνηκαν σε ισχυρά ιδρύματα, άρχισαν να εμφανίζονται μικρότερες εκτάσεις γης
που μπορούσαν πλέον να ανήκουν σε απλούς ανθρώπους.
Αυτή η αλλαγή είχε αντίκτυπο στον τρόπο μέτρησης της γης. Σε
αντίθεση με τα ιδρύματα, οι ιδιώτες ιδιοκτήτες γης χρειάζονταν επιθεωρητές-τοπογράφους
για να καθορίσουν τα όρια και να επιλύσουν διαφορές σχετικά με τα σύνορα.
«Όπως θα κάναμε σήμερα, οι ιδιοκτήτες γης προσπαθούσαν να ξεκαθαρίσουν
πού είναι τα όρια του οικοπέδου τους», λέει ο Μάνσφιλντ. «Εκεί έρχεται ο
τοπογράφος, αλλά αντί να χρησιμοποιήσει μηχανήματα GPS, χρησιμοποιεί πυθαγόρειες
τριάδες».
Η ανάγκη για ακριβή τοπογραφία είναι προφανής από ένα
παλαιοβαβυλωνιακό ποίημα για τους μαθητές που σπούδαζαν, ώστε να γίνουν
τοπογράφοι. Ο μεγαλύτερος μαθητής νουθετεί τον μικρότερο μαθητή λέγοντας:
«Πηγαίνεις να διαιρέσεις ένα οικόπεδο και δεν μπορείς. Πηγαίνεις
στα σύνορα του χωραφιού και δεν μπορείς καν να κρατήσεις σωστά την ταινία και
τη ράβδο. Τα σημάδια του χωραφιού δεν μπορείς να τα τοποθετήσεις. Δεν μπορείς
να καταλάβεις το σχήμα του χωραφιού και έτσι όταν οι αδικημένοι άνθρωποι έχουν
μια διαμάχη, δεν μπορείς να φέρεις ειρήνη, αλλά επιτρέπεις στον αδελφό να
επιτεθεί στον αδελφό. Μεταξύ των γραφέων, εσύ μόνο είσαι ακατάλληλος για τον
πηλό».
Αυτό το ποίημα αναφέρει την ταινία και τη ράβδο, που είναι
αναφορές στα τυπικά βαβυλωνιακά τοπογραφικά εργαλεία: το σχοινί μέτρησης και τη
ράβδο υπολογισμού της μονάδας. Αυτά ήταν σεβαστά σύμβολα δικαιοσύνης στην
αρχαία Βαβυλώνα και απεικονίζονταν συχνά στα χέρια θεών και βασιλιάδων.
Οι Βαβυλώνιοι τοπογράφοι χρησιμοποιούσαν αυτά τα εργαλεία
για να χωρίσουν τη γη σε διαχειρίσιμα σχήματα: ορθογώνια, ορθογώνια τρίγωνα και
ορθογώνια τραπεζοειδή. Νωρίτερα, πριν χρειαστούν οι τοπογράφοι να καθορίσουν τα
όρια, απλώς έκαναν γεωργικές εκτιμήσεις. Έτσι, οι γωνίες 90° σημειώνονταν ως
τότε ως απλές προσεγγίσεις, αλλά ποτέ δεν ήταν ακριβώς ορθές.
Η ακρίβεια στις ορθές
γωνίες
Η Παλαιά Βαβυλωνιακή κτηματολογική έρευνα που καταγράφεται
στην πλάκα Si.427 καταγράφει τα σύνορα ενός μικρού αγροτεμαχίου που αγοράστηκε
από ένα άτομο γνωστό ως Sîn-bêl-apli (Σιν-μπελ-άπλι).
Η μία πλευρά της πινακίδας παρουσιάζει ένα διάγραμμα που
δείχνει ορθογώνια πεδία με αντίθετες πλευρές ίσου μήκους. Στην άλλη πλευρά καταγράφονται
μερικές ελώδεις περιοχές που πρέπει να ήταν σημαντικές αφού μετρήθηκαν πολύ
προσεκτικά. Στην έκταση περιλαμβάνονται διάφορες κατασκευές, όπως ένας πύργος
που είναι χτισμένος εκεί. Η πλάκα είναι χαραγμένη με τρία σετ πυθαγόρειων τριάδων:
τρεις ακέραιους αριθμούς για τους οποίους το άθροισμα των τετραγώνων των δύο
πρώτων ισούται με το τετράγωνο του τρίτου. Οι τριάδες που είναι χαραγμένες στο
Si.427 είναι 3, 4, 5- 8, 15, 17 και 5, 12, 13. Αυτά πιθανότατα χρησιμοποιήθηκαν
για να βοηθήσουν στον καθορισμό των ορίων της γης.
«Μοιάζει σαν μια συνηθισμένη μέρα στη δουλειά για έναν
Βαβυλώνιο τοπογράφο, αλλά υπάρχει κάτι πολύ ξεχωριστό για το Si.427», λέει ο
Μάνσφιλντ.
Σε προηγούμενες έρευνες, οι ορθές γωνίες των 90 μοιρών παρουσιάζονται απλώς κατά προσέγγιση, αλλά στο Si.427 για πρώτη φορά οι γωνίες είναι ακριβώς 90 μοίρες. Πώς θα μπορούσε κάποιος με μόνο ένα σχοινί μέτρησης και μια ράβδο μονάδας να κάνει τόσο ακριβείς ορθές γωνίες; Η απάντηση είναι απλώς «φτιάχνοντας μια πυθαγόρεια τριάδα».
Το Πυθαγόρειο τρίγωνο είναι ένα ειδικό είδος ορθογώνιου
τριγώνου που ακολουθεί το θεώρημα του Πυθαγόρα. Κατασκευάζεται εύκολα και έχει θεωρητικά
τέλειες ορθές γωνίες. Ξέρουμε ήδη ότι οι πυθαγόρειες τριάδες χρησιμοποιήθηκαν και
στην αρχαία Ινδία πολύ πριν τον Πυθαγόρα για την κατασκευή τριγωνικών ορθογώνιων
βωμών, πιθανώς ήδη από το 800 π.Χ. Ωστόσο, μέσω του Si.427, γνωρίζουμε τώρα ότι
οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι τα χρησιμοποιούσαν για να κάνουν ακριβείς μετρήσεις γης
ήδη από το 1900 π.Χ. Μάλιστα, η Si.427 περιέχει όχι μία, αλλά τρεις πυθαγόρειες
τριάδες.
«Κανείς δεν περίμενε ότι οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν τις
πυθαγόρειες τριάδες με αυτόν τον τρόπο», είπε ο Μάνσφιλντ. «Μοιάζει περισσότερο
με καθαρά μαθηματικά, εμπνευσμένα από τα πρακτικά προβλήματα της εποχής.
Ωστόσο, αυτά τα μαθηματικά δεν ήταν πάντα απλά για τους
Βαβυλώνιους. Το σύστημα αριθμών τους ήταν διαφορετικό από αυτό που
χρησιμοποιούμε τώρα. Το δικό μας είναι ένα σύστημα με βάση το 10: οι αριθμοί
γράφονται με τη διάσπασή τους σε εκατοντάδες, δεκάδες, μονάδες κ.λπ. Το
βαβυλωνιακό αριθμητικό σύστημα, ωστόσο, χρησιμοποιούσε την πολύ πιο περίπλοκη
βάση του 60, παρόμοια με τον τρόπο που κρατάμε τον χρόνο: 60 δευτερόλεπτα
αποτελούν ένα λεπτό και 60 λεπτά αποτελούν μία ώρα.
«Αυτό εγείρει ένα πολύ συγκεκριμένο ζήτημα: το πολύ
ιδιαίτερο σύστημα αριθμών που χρησιμοποιούσαν με βάση το 60 σημαίνει ότι μπορούσαν
να χρησιμοποιηθούν μόνο μερικά πυθαγόρεια σχήματα», λέει ο Μάνσφιλντ.
Αν και στην πλάκα δεν εκφράζεται το Πυθαγόρειο Θεώρημα με τη
γνωστή αλγεβρική μορφή που εκφράζεται σήμερα, είναι δεδομένο ότι η εύρεση αυτών
των τριάδων θα απαιτούσε την κατανόηση της γενικής αρχής που διέπει τη σχέση
μεταξύ του μήκους των πλευρών και της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου. Αυτό
μάλιστα που προκαλεί έκπληξη για τον Μάνσφιλντ είναι το επίπεδο θεωρητικής
πολυπλοκότητας που οι πλάκες αποκαλύπτουν ότι είχαν οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι σε
ένα τόσο πρώιμο στάδιο της ανθρώπινης ιστορίας.
Κι άλλα παραδείγματα
Η Si.427 μας βοήθησε επίσης να κατανοήσουμε άλλες πινακίδες
από την εποχή της Παλαιάς Βαβυλωνίας καθώς είναι αρκετά τα παραδείγματα στα
οποία οι Βαβυλώνιοι υπολόγιζαν τέλεια ορθογώνια τρίγωνα με φανερή τη γνώση
αυτού που εμείς σήμερα ονομάζουμε πυθαγόρειο θεώρημα.
Το 2017, ο Μάνσφιλντ μαζί με τον μαθηματικό Νόρμαν
Γουάιλντμπεργκ μελέτησαν άλλη μια πήλινη πλάκα που χρονολογείται από την ίδια
χρονική περίοδο αλλά είναι λίγο μεταγενέστερη. Πρόκειται για την πλάκα Plimpton
322, η οποία περιείχε αυτό που ο Μάνσφιλντ αποκαλεί «πρωτο-τριγωνομετρία»: έναν
πίνακα που μελετά διαφορετικούς τύπους τριγώνων.
«Φαίνεται ότι ο συγγραφέας του Plimpton 322 πέρασε από όλα
αυτά τα πυθαγόρεια σχήματα για να βρει αυτά που του ήταν τα χρήσιμα», είπε.
Όταν όμως πρωτομελέτησαν την πλάκα Plimpton 322, οι ερευνητές δεν γνώριζαν σε τι χρησιμεύουν οι υπολογισμοί που γράφονταν σε αυτήν. Υπέθεσαν ότι οι μετρήσεις θα μπορούσαν να είχαν χρησιμοποιηθεί στην κατασκευή καναλιών, ανακτόρων και ναών, ή ίσως στην τοπογραφία.
Το κλειδί του παζλ αποδείχθηκε ότι ήταν η πλάκα Si.427. «Με αυτή,
μπορούμε πραγματικά να δούμε για πρώτη φορά γιατί τους ενδιέφερε η γεωμετρία:
να καθορίσουν ακριβή όρια γης», λέει ο Μάνσφιλντ.
Το ζήτημα της γεωμετρίας και της ιδιοκτησίας γης εμφανιζόταν
ξανά και ξανά στους αρχαίους Βαβυλώνιους, υπογραμμίζοντας πόσο σημαντικά ήταν
αυτά τα μαθηματικά.
«Μια άλλη πλάκα αναφέρεται σε μια διαμάχη μεταξύ του Sîn-bêl-apli
– ο οποίος φαίνεται ότι ήταν ένα εξέχον άτομο καθώς αναφέρεται σε πολλές πλάκες
συμπεριλαμβανομένου της Si.427– και μιας πλούσιας γυναίκας γαιοκτήμονα», λέει ο
Μάνσφιλντ.
«Η διαμάχη αφορά μερικούς πολύτιμους φοίνικες, οι οποίοι
βρίσκονται στα σύνορα μεταξύ των δύο ιδιοκτησιών τους. Ο τοπικός διαχειριστής
συμφωνεί να στείλει έναν τοπογράφο, για να επιλύσει τη διαφορά. Είναι εύκολο να
καταλάβει κανείς πόσο σημαντική ήταν η ακρίβεια στην επίλυση διαφορών μεταξύ
τόσο ισχυρών ατόμων».
Η πιο αξιοσημείωτη πτυχή της βαβυλωνιακής τριγωνομετρίας
είναι η ακρίβειά της, όπως λέει ο Μάνσφιλντ.
«Η βαβυλωνιακή τριγωνομετρία είναι ακριβής, ενώ εμείς έχουμε
συνηθίσει στην κατά προσέγγιση τριγωνομετρία. Η βαβυλωνιακή προσέγγιση είναι
επίσης πολύ πιο απλή γιατί χρησιμοποιεί μόνο ακριβείς αναλογίες. Δεν υπάρχουν
παράλογοι αριθμοί και γωνίες, και αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν ημίτονα,
συνημίτονα και εφαπτόμενες», αναφέρει.
«Αυτή η βαθιά και εξαιρετικά αριθμητική κατανόηση της
πρακτικής χρήσης των ορθογωνίων μπορεί να χαρακτηριστεί «πρωτοτριγωνομετρία»,
αλλά είναι εντελώς διαφορετική από τη σύγχρονη τριγωνομετρία μας», συμπληρώνει.
Όπως λέει ο Μάνσφιλντ είναι δύσκολο να πούμε γιατί δεν έχει
επιβιώσει αυτή η προσέγγιση στην τριγωνομετρία. Ίσως παραγκωνίστηκε γιατί η
ελληνική προσέγγιση είναι πιο κατάλληλη για αστρονομικούς υπολογισμούς. Ίσως
αυτή η κατανόηση χάθηκε το 1762 π.Χ. όταν η Λάρσα καταλήφθηκε από τον
Χαμουραμπί της Βαβυλώνας. Φυσικά δεν υπάρχουν αποδείξεις για τίποτα από αυτά
και το μόνο που μπορούμε να κάνουμε προς το παρόν είναι εικασίες.
Ο μυστηριώδης Πυθαγόρας
Ο Έλληνας μαθηματικός Πυθαγόρας είναι μια από τις σπουδαίες
προσωπικότητες της ελληνικής αρχαιότητας, όχι μόνο στην ιστορία των μαθηματικών
αλλά και της φιλοσοφίας. Ωστόσο, η ιστορία ακόμα και του ίδιου Πυθαγόρα, αλλά
και του περίφημου θεωρήματός του δεν είναι ξεκάθαρη. Ό,τι είναι γνωστό για τον
Πυθαγόρα θεωρείται γενικά περισσότερο μυθοπλασία παρά γεγονός, καθώς ιστορικοί
που έζησαν εκατοντάδες χρόνια αργότερα παρείχαν τα στοιχεία για τη ζωή του.
Υπάρχουν σαφείς λεπτομέρειες της ζωής του Πυθαγόρα από πρώιμες βιογραφίες που
χρησιμοποιούν πρωτότυπες πηγές, αλλά είναι γραμμένες από συγγραφείς που του
αποδίδουν θεϊκές δυνάμεις και τον παρουσιάζουν ως θεότητα. Κατά συνέπεια, οι
περισσότεροι ιστορικοί αντιμετωπίζουν αυτές τις πληροφορίες με προσοχή.
Οι ιστορικοί συμφωνούν γενικά ότι ο Πυθαγόρας από τη Σάμο
(γεννήθηκε περίπου το 569 π.Χ. στη Σάμο της Ιωνίας και πέθανε περίπου το 475
π.Χ.) ήταν ο πρώτος μαθηματικός. Είναι μια εξαιρετικά σημαντική προσωπικότητα
στην ανάπτυξη των μαθηματικών, ωστόσο σχετικά λίγα είναι γνωστά για τα μαθηματικά
του επιτεύγματα. Σε αντίθεση με πολλούς μεταγενέστερους Έλληνες μαθηματικούς,
που έγραψαν πολλά βιβλία, δεν υπάρχουν γραπτά του Πυθαγόρα.
Ωστόσο, θεωρείται ότι ο Πυθαγόρας ίδρυσε μια σχολή (στο
σημερινό Κρότωνα της νότιας Ιταλίας) με το όνομα Ημικύκλιο του Πυθαγόρα – με θεματολογία
κατά το ήμισυ θρησκευτική και κατά το ήμισυ επιστημονική, το οποίο ακολουθούσε
έναν κώδικα μυστικότητας. Γι’ αυτό και ο ίδιος ο Πυθαγόρας είναι μια
μυστηριώδης φιγούρα.
Τα μέλη του Ημικυκλίου του Πυθαγόρα – γνωστοί ως Πυθαγόρειοι– δεσμεύονταν από μια πίστη που επιβάλλονταν αυστηρά. Ωστόσο, το Ημικύκλιο δεν ήταν απλώς ένα σχολείο που μελετούσε πνευματικούς κλάδους, συμπεριλαμβανομένων ιδίως της φιλοσοφίας, των μαθηματικών και της αστρονομίας. Η επιστημονική διάσταση του σχολείου αντιμετώπιζε τους αριθμούς με τρόπους παρόμοιους με τον εβραϊκό μυστικισμό της Καμπάλα, όπου κάθε αριθμός έχει θεϊκό νόημα και οι συνδυασμένοι αριθμοί αποκαλύπτουν τη μυστικιστική αξία της ζωής. Το τελευταίο αντικατοπτρίζεται στο Πυθαγόρειο απόφθεγμα «Ο αριθμός Κυβερνά το Σύμπαν». Είναι γνωστός ο συλλογισμός που αποδίδεται σε αυτόν σύμφωνα με τον οποίο τα πάντα στο σύμπαν διέπονται από μαθηματικούς κανόνες και λόγους. Άρα, αν κατανοήσουμε τις αριθμητικές και μαθηματικές σχέσεις, τότε θα κατανοήσουμε τη δομή του σύμπαντος. Έτσι, τα μαθηματικά αποτελούν βασικό μοντέλο για τη φιλοσοφική σκέψη.
Στο σχολείο του γίνονταν πολλές διαλέξεις από τον Πυθαγόρα τις
οποίες παρακολουθούσαν άντρες και γυναίκες, παρόλο που ο νόμος εκείνη την εποχή
απαγόρευε στις γυναίκες να συγχρωτίζονται άνδρες. Οι Πυθαγόρειοι κατανάλωναν
χορτοφαγική αποξηραμένη και συμπυκνωμένη τροφή και άζυμο ψωμί και γι’ αυτό ο
Πυθαγόρας θεωρείται και ο πατέρας της χορτοφαγίας.
Ένας λόγος για τη σπανιότητα των πρωτότυπων πηγών για τον
Πυθαγόρα ήταν ότι η πυθαγόρεια γνώση μεταδόθηκε από τη μια γενιά στην άλλη από
στόμα σε στόμα, ενώ την περιέβαλε πάντοτε η μυστικότητα. Επιπλέον, από σεβασμό
προς τον αρχηγό τους, πολλές από τις ανακαλύψεις που έκαναν οι Πυθαγόρειοι
αποδόθηκαν στον ίδιο τον Πυθαγόρα. Κατά συνέπεια, από το πραγματικό έργο του
Πυθαγόρα τίποτα δεν είναι γνωστό. Από την άλλη πλευρά, η σχολή του λειτουργούσε
ως συλλογικότητα, καθιστώντας δύσκολη τη διάκριση μεταξύ του έργου του Πυθαγόρα
και των οπαδών του. Επομένως, το ποιος ακριβώς ανακάλυψε το πυθαγόρειο θεώρημα
μπορεί να μην γίνει ποτέ γνωστό. Πάντως, σε αντιδιαστολή με τους Βαβυλώνιους
και τους Ινδούς που χρησιμοποίησαν το θεώρημα για τελείως πρακτικούς λόγους, ο Πυθαγόρας
ή οι μαθητές του φαίνεται ότι εκπόνησαν την πρώτη θεωρητική του απόδειξη.
Ανεξάρτητα από την αβεβαιότητα των πραγματικών συνεισφορών
του Πυθαγόρα, η σχολή του είχε εξαιρετική συνεισφορά στα μαθηματικά. Η πιο
σημαντική ανακάλυψη της σχολής του Πυθαγόρα ήταν το γεγονός ότι η διαγώνιος
ενός τετραγώνου δεν είναι ορθολογικό πολλαπλάσιο της πλευράς του. Αυτή η
ανακάλυψη απέδειξε την ύπαρξη παράλογων αριθμών. Αυτό το εύρημα ενόχλησε ωστόσο
πολύ τους Πυθαγόρειους, καθώς δεν συνάδει με τους θεϊκή πίστη στους αριθμούς:
οι ακέραιοι αριθμοί και οι λόγοι τους, που αντιπροσωπεύουν γεωμετρικές
ιδιότητες, αμφισβητήθηκαν από το δικό τους αποτέλεσμα. Οι Πυθαγόρειοι ήταν τόσο
προβληματισμένοι με την εύρεση παράλογων αριθμών που ορκίστηκαν ο ένας τον
άλλον να τηρήσουν μυστικότητα για την ύπαρξή τους. Υπάρχει μάλιστα η ιστορία
ότι ένας Πυθαγόρειος το είπε σε κάποιον εκτός της σχολής και ο μαθητής αμέσως
μετά εξαφανίστηκε, πιθανότατα δολοφονήθηκε.